5-6

Elasticidades: elasticidad de la demanda y elasticidad de ingreso.

 

 

La Cantidad Demandada de un Bien es sensible a los cambios en el Ingreso de los demandantes, de modo que al cambiar éste cambiará también la Demanda.  La Elasticidad Ingreso de la Demanda permite cuantificar estos cambios y se define como la variación porcentual en la Cantidad Demandada de un Bien que resulta de una variación porcentual en el Ingreso. Numéricamente se expresa como: ? x^I = (cambio porcentual en la, Demanda de X) / (Cambio porcentual en el Ingreso) b Los Bienes pueden clasificarse como inferiores o superiores según que nx^I sea mayor o menor que 0. Cuando el cambio en el Ingreso aumente la Cantidad Demandada, el bien será superior y la Elasticidad Ingreso positiva ( ? x^I mayor que 0). Si al aumentar el Ingreso disminuye la cantidad demandada, el Bien será inferior y la elasticidad ingreso será negativa ( ? x^I menor que 0). Si la Cantidad Demandada de un Bien es insensible a los cambios en el Ingreso, se dice que es un bien neutro, y su Elasticidad Ingreso es cero ( ? x^I = 0). A veces se clasifica a los Bienes superiores en "necesarios" y "de lujo" (o suntuarios), de acuerdo con la Elasticidad Ingreso. Si ésta es muy baja (menor que uno pero mayor que cero) el Consumo responde poco a los cambios en el Ingreso, lo que sugiere que el Bien en cuestión es "necesario". En cambio, una Elasticidad Ingreso superior a uno indica cambios proporcionalmente mayores en el consumo que en el Ingreso, con lo que el Bien en cuestión sería "de lujo". Ver Elasticidad, Bien Superior, Bien Inferior, Bien de Lujo.

 

 

5-5

 

Optimización de funciones economico-administrativas: maximizacíon de funciones de ingreso, utilidad y beneficios; minimización de funciones de costos y costos promedio.

 

 

1. (UTILIDAD MAXIMA) Una empresa vende todas las unidades producidas a $4.00 cada una. El gasto total de la empresa G por producir x unidades esta dado en dólares por

G=50+1.3x+0.001x²

a) Escriba la expresión para la utilidad total P como una función x.

b) Determine el volumen de producción x de modo que la utilidad P sea máxima.

c) ¿Cuál es el valor de la utilidad máxima?

P=4
C=50+1.3x+0.001x²

A) P=4x-50-1.3x-0.001x²≠

P=2.7x-50-0.001x²

P'(x)=0.002x-2.7
2.7
0.002

=x

B) x=1350≠

P=2.7 (1350)-0.001(1350)2 -50

C) P=1,772.50 ≠





2. (Costo promedio mínimo) El costo promedio de fabricar cierto artículo es

C=5+48x+3x2

En donde x es el número de artículos producidos.
Encuentre el valor mínimo de C.

C=5+48x+3x2

C=5+48x-1+3x2

C'=48x2+6x
O=6x- 48x2

6x(x2)=48

x3= 486

X=2 ≠

C=5+482+3(2)2

C=5+482+3(4)
C=41≠

C es 41 cuando x=2



3. (Costo promedio mínimo) El costo de producir x artículos de cierto producto es:

C (x) =4000+3x+10-3x2
Determine el valor de x que hace del costo promedio por artículo un mínimo.

C(x)=4000+3x+0.001x2

Cx=4000x+ 3xx+ 0.001x2x

C(x)=4000x-1+3+0.001x

C'x=-4000x-2+0.001

C'(x)=-4000x2+0.001

-4000x2+0.001=0

-0.001(x2)=4000

0.001(x2)=4000


x= 210000.001


x= 2000





4. (Utilidad máxima) En el ejercicio anterior, los artículos en cuestión se venden a $8.00 cada uno. Encuentre el valor de x que maximiza la utilidad y calcule la utilidad máxima.

C(x)=4000+3x+0.001x2

I=8x
G=8x - 4000-3x - 0.001x2

G=5x – 4000 - 0.001x2

G'=5 - 0.002x

50.002=x

X=2500

G=5(2500) – 4000 – 0.001 (2500)2


=12500 – 4000 – 6250

 

 

 

5-3

 

 

Prueba de la primera derivada para la determinación de máximos y mínimos.

 

 

Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico .

 

Teorema valor máximo y mínimo

"Sea un punto crítico de una función que es continua en un intervalo abierto que contiene a . Si es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en , entonces puede clasificarse como sigue."

1. Si ' cambia de positiva a negativa en , entonces tiene un máximo relativo en .

2. Si ' cambia de negativa a positiva en , entonces tiene un mínimo relativo en .

3. Si ' es positiva en ambos lados de o negativa en ambos lados de c, entonces no es ni un mínimo ni un máximo relativo.

 

 

 

 

 

5-2

Extremos relativos y extremos absolutos

 

 

 

https://www.youtube.com/watch?v=uv4unCHwt9U

 

En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto).De manera más general, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos= son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.

 

 

 

 

 

5-1

funciones crecientes y decrecientes

 

 

 

 

 

Una función f se dice que es creciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x₁, f(x₁) ) y ( x₂, f(x₂) ) con

x1	<	x2	Se tiene que	f(x1)	<	f(x2).
Prevalece la relación <

 

una función f se dice que es decreciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x₁, f(x₁) ) y ( x₂, f(x₂) ) con

x1	<	x2	Se tiene que	f(x1)	>	f(x2).
Cambia la relación de < a >

x1 x2 x1 < x2

y f(x1) f(x1) > f(x2) f(x2) x

 

x1	<	x2	Se tiene que	f(x1)	=	f(x2).
Las y no cambian, son fijas

f(x1) = f(x2)

x1 x2 x1< x2

Ilustración

 

 

MODULO 5.

 Aplicaciones de la derivada

Objetivo:

El alumno aprenderá el uso de técnicas avanzadas de derivación y sus aplicaciones, para casos especiales como derivadas de funciones exponenciales, funciones logarítmicas y funciones implícitas, entre otras. Comprenderá el concepto de diferencial y sus aplicaciones.

El alumno analizará el comportamiento de las funciones con el uso de técnicas de optimización. Aplicará estas técnicas en la resolución de problemas de las disciplinas económico-administrativas.