Matematicas : noviembre 2015

lunes, 30 de noviembre de 2015

MODULO 5.

Aplicaciones de la derivada

Objetivo:

El alumno aprenderá el uso de técnicas avanzadas de derivación y sus aplicaciones, para casos especiales como derivadas de funciones exponenciales, funciones logarítmicas y funciones implícitas, entre otras. Comprenderá el concepto de diferencial y sus aplicaciones.

El alumno analizará el comportamiento de las funciones con el uso de técnicas de optimización. Aplicará estas técnicas en la resolución de problemas de las disciplinas económico-administrativas.

4-7

Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal, propensión marginal al consumo y propensión marginal al ahorro.

El costo marginal se define como la variación en el costo total, ante el aumento de una unidad en la cantidad producida, es decir, es el costo de producir una unidad adicional.

Matemáticamente se expresa como la derivada parcial del costo total respecto a la cantidad:

Costo Marginal = ∂Costo Total / ∂Cantidad

CMg = ∂CT / ∂Q

El costo marginal es un concepto fundamental en la teoría micro-económica, debido a que se utiliza para determinar la cantidad de producción de las empresas y los precios de los productos.

4-6

Diferenciales

En matemáticas, concretamente en cálculo diferencial, el diferencial es un objeto matemático que representa la parte principal del cambio en la lineación de una funcióny = ƒ(x) con respecto a cambios en la variable independiente. Existen diversas definiciones de diferencial en diversos contextos.

4-5

Derivadas de orden superior.

https://www.youtube.com/watch?v=WHq9UAsmMY0

Sea f(x) una función diferenciable, entonces se dice que f '(x) es la primera derivada de f(x). Puede resultar f '(x) ser una función derivable, entonces podríamos encontrar su segunda derivada, es decir f(x). Mientras las derivadas cumplan ser funciones continuas y que sean derivables podemos encontrar la n-ésima derivada. A estas derivadas se les conoce como derivadas de orden superior.

Notación

Se utiliza la siguientes notaciones para representar las derivadas de orden superior

4-4

Diferenciación logarítmica

Se establecen los pasos de esta técnica. Se desarrollan dos ejemplos s en
que se obtiene la derivada de una función que es un producto, cociente o
función elevada a función usando el método de diferenciación logarítmica.
se explica el por qué de los pasos del método de diferenciación logarítmica.

4-3

Diferenciación implícita.

Se dice que una función está definida explícitamente cuando se da de la forma y = f (x); esto es cuando se da y despejada en términos de x. En cambio, si en una ecuación, como por ejemplo, 2yx = cos3y, existe una función tal que y = f (x), se dice que y es una función que está definida implícitamente por la ecuación. Una ecuación en x e y puede definir a más de una función implícita. En muchas ocasiones no se puede resolver explícitamente una función dada en forma implícita. Es posible hallar la derivada de una función expresada implícitamente, sin necesidad de transformarla en su equivalente explícita.

4-2

Derivadas de funciones exponenciales.

La derivada de la función exponencial ea igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.

Derivada de la función exponencial de base e

La derivada de la función exponencial de base e ea igual a la misma función por la derivada del exponente.

Ejemplos

4-1

Derivadas de funciones logarítmicas.

En el ámbito de las matemáticas, específicamente en el cálculo y el análisis complejo, la derivada logarítmica de una función f queda definida por la fórmula

\frac{f'}{f} \!

donde f ′ es la derivada de f.

Cuando f es una función f(x) de una variable real x, y toma valores reales, estrictamente positivos, esta es entonces la fórmula para (log f)′, o sea, la derivada del logaritmo natural de f, como se deduce aplicando directamente la regla de la cadena.

MODULO 4.

Tópicos complementarios de diferenciación

Objetivo: El alumno entenderá el concepto de derivada y su interpretación geométrica y como razón de cambio. Utilizará la definición de la derivada para obtener algunas reglas de derivación. Aplicará las reglas de derivación en la resolución de problemas que involucren los conceptos de tasa instantánea de cambio, tangente a una curva en un punto; y medida marginal de funciones de costo, utilidad, ingreso y producción.

*Si una ecuación define de manera implícita a y como función de x [en vez de definirla en forma explícita, en forma y = f (x )], entonces dy/dx puede encontrarse por diferenciación implícita. Con este método, tratamos a y como una función de x y diferenciamos ambos miembros de la ecuación con respecto a x. Al hacer esto recuerde que:

Por último, despejamos de la ecuación a dy / dx, Las fórmulas para derivar logaritmos naturales funciones exponenciales son:

Para diferenciar funciones logarítmicas y exponenciales con base diferente a e, primero la función puede transformarse a base e y luego diferenciarse el resultado. De manera alterna, pueden aplicarse las fórmulas de diferenciación

Suponga que f (x) consiste en productos, cocientes o potencias. Para diferenciar y = log[ f (x) ], puede ser conveniente usar las propiedades de los logaritmos para reescribir logh [f(x)] en términos de logaritmos más sencillos y luego diferenciar esa forma.

Para diferenciar y = f(x), donde f(x) consiste en productos, cocientes o potencias, puede utilizarse el método de diferenciación logarítmica. En este método, tomamos el logaritmo natural de ambos miembros de y = f(x) para obtener lny = ln [f (x) ].

Después de simplificar ln [f (x) ] por medio de las propiedades de los logaritmos, diferenciamos ambos miembros de ln y = ln[f(x)] con respecto a x y luego despejamosy'. La diferenciación logarítmica se utiliza también para diferenciar y = uv donde u y v son funciones de x.

Como la derivada f'(x) de una función y = f(x) es a su vez una función, podemos diferenciarla de manera sucesiva para obtener la segunda derivada f"(x), la tercera derivadaf'"(x) y otras derivadas de orden superior.

3-7

Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal, propensión marginal al consumo y propensión marginal al ahorro.

Costo marginal:

El costo marginal y se define como el cambio que ocurrirá en el costo total cuando se produce una unidad más del producto. Es decir, nos dice cuánto esta variando el costo total cuando la empresa varía su nivel de producción, para ello también debemos conocer cuánto nos cuesta la producción de la última unidad. La cifra muestra el aumento del coste total cuando se produce una unidad adicional.

Su interpretación es similar a la del concepto anterior, considerando únicamente el cambio en la cantidad de unidades, de físicas (productos) a monetarias. Don Valentín realiza las siguientes consideraciones:

Se determina que cada participantes de zapatos se vende a $ 30
Los costos variables por cada par son de $ 16.05 por unidad, resultado obtenido del cociente entre los costos variables totales y el número de unidades producidas en el período de un año; esto es:

Según se indicó en su momento, independientemente del volumen de unidades producidas, para la operación de la empresa los costos fijos se mantienen en un nivel constante durante el periodo considerado.

Costo Marginal = $ 30 - $ 16.05 = $ 13.95 por unidad

Ingreso marginal:

Variación del ingreso total al incrementarse la producción (más específicamente, al incrementarse en una unidad).

IMg =  IT /  Q

A partir de la ecuación de la función de demanda (lineal, en nuestro ejemplo) se puede derivar la función de ingreso marginal:
P = a - b. Q

Dado que el ingreso total es P.Q (Precio por la cantidad vendida); multiplicando por Q

P.Q = a.Q – b.Q2

IT = a.Q – b.Q2

Derivamos para obtener el ingreso marginal:

d(P.Q)/dQ =a – 2b. Q

Dado que d(P.Q)/dQ es el ingreso marginal, resulta:

IMg = a – 2b. Q

Lo que implica que el ingreso marginal tiene el doble de pendiente (2b) que la función de demanda (lineal).

3-6

La regla de la cadena y de la potencia.

En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto ax puede ser calculada con el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

3-5

Reglas básicas de derivación: la derivada de una constante, de una constante por una función, de suma o resta de funciones, y del producto o del cociente de funciones.

La derivada de una constante

La derivada de una constante por una función:

Cuando una función esté representada por medio de

f(x)=cx^{n}

, su derivada equivale a

f'(x)=n(cx^{(n-1)})

de la siguiente manera:

Consideremos la siguiente función:

f(x)=8x^{4}

, lo primero a hacer es "bajar" al exponente a multiplicar por la variable y el coeficiente que la acompaña, y de nuevo se halla un nuevo exponente de la misma manera explicada anteriormente:

f'(x)=4(8x^{4-1})

Para obtener

f'(x)=32x^{3}

Cuando una constante acompaña a una variable cuyo exponente es 1 su derivada será el valor de la constante:

f(x)=7x

Entonces su derivada con respecto a esta variable será:

f'(x)=7

Puesto que

x^{0}=1

La derivada de suma o resta de funciones

La derivada del producto o del cociente de funciones.

La derivada se expresa literalmente de la siguiente forma:

"La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la suma entre el producto de la primera función sin derivar y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar."

Y matemáticamente expresado por la relación

(f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g' \,

. Consideremos la siguiente función como ejemplo:

h(x)=(4x+2)(3x^{7}+2)

Identificamos a

f(x)=(4x+2)

g(x)=(3x^{7}+2)

, utilizando las reglas anteriormente expuestas, vemos que:

f'(x)=4

y que

g'(x)=21x^{6}

Por lo tanto

h'(x)= 4\cdot(3x^{7}+2)+(4x+2)\cdot(21x^{6})

Simplificando y organizando el producto obtenido nos queda:

h'(x)=84x^{7}+12x^{7}+42x^{6}+8

Sumamos términos semejantes y finalmente obtenemos la derivada:

h'(x)=96x^{7}+42x^{6}+8

Si por ejemplo tenemos la derivada del producto de tres funciones que dependen de la misma variable, podemos pensar el producto de dos de las funciones como si se tratara de una tercera función es decir

(f\cdot g\cdot h)' = (f\cdot p)'

en donde

p = g\cdot h

(sin importar que dos funciones escogemos).

3-4

Diferenciabilidad y continuidad

Derivada; Diferenciabilidad
La derivada de una función f en el punto a en su dominio se define por

f'(a)

lim
h

f(a+h) - f(a)

Decimos que la función f es diferenciable en el punto a en su dominio si f'(a) existe.

Diferenciable en un subconjunto del dominio
La función f es diferenciable en el subconjunto S de su dominio si es diferenciable en cada punto de S.

https://www.youtube.com/watch?v=CFpVVqu8n3I

domingo, 29 de noviembre de 2015

3-3

La derivada como razón de cambio

El concepto de razón de cambio se refiere a la medida en la cual una variable se modifica con relación a otra. Se trata de la magnitud que compara dos variables a partir de sus unidades de cambio. En caso de que las variables no estén relacionadas, tendrán una razón de cambio igual a cero.

Lee todo en: Definición de razón de cambio - Qué es, Significado y Concepto http://definicion.de/razon-de-cambio/#ixzz3suNrA9TZ

3-2
Diferenciación de funciones por incrementos

Si f(x) es una función derivable, la diferencial de una función correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) · h.

La diferencial de una función se representa por dy.

Interpretación geométrica

La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable.

Ejemplos

https://www.youtube.com/watch?v=sR5KYTap0Cg

3-1
Definición de la derivada

Del latín derivātus, derivada es un término que puede utilizarse como sustantivo o como adjetivo. En el primer caso, se trata de una noción de la matemática que nombra al valor límite del vínculo entre el aumento del valor de una función y el aumento de la variable independiente-

Lee todo en: Definición de derivada - Qué es, Significado y Concepto http://definicion.de/derivada/#ixzz3su60LTDN