MODULO 4. 

Tópicos complementarios de diferenciación

Objetivo:  El alumno entenderá el concepto de derivada y su interpretación geométrica y como razón de cambio. Utilizará la   definición de la derivada para obtener algunas reglas de derivación. Aplicará las reglas de derivación en la resolución de problemas que involucren los conceptos de tasa instantánea de cambio, tangente a una curva en un punto; y medida marginal de funciones de costo, utilidad, ingreso y producción.

*Si una ecuación define de manera implícita a y como función de x [en vez de definirla en forma explícita, en forma y = f (x )], entonces dy/dx puede encontrarse por diferenciación implícita. Con este método, tratamos a y como una función de x  y diferenciamos ambos miembros de la ecuación con respecto a x. Al hacer esto recuerde que:

                                                                                                              

                                              

Por último, despejamos de la ecuación a dy / dx, Las fórmulas para derivar logaritmos naturales funciones exponenciales son:

Para diferenciar funciones logarítmicas y exponenciales con base diferente a e, primero la función puede transformarse a base e y luego diferenciarse el resultado. De manera alterna, pueden aplicarse las fórmulas de diferenciación

Suponga que f (x) consiste en productos, cocientes o potencias. Para diferenciar y = log[ f (x) ], puede ser conveniente usar las propiedades de los logaritmos para reescribir logh [f(x)] en términos de logaritmos más sencillos y luego diferenciar esa forma.

Para diferenciar y = f(x), donde f(x) consiste en productos, cocientes o potencias, puede utilizarse el método de diferenciación logarítmica. En este método, tomamos el logaritmo natural de ambos miembros de    y = f(x) para obtener lny = ln [f (x) ].

Después de simplificar ln [f (x) ] por medio de las propiedades de los logaritmos, diferenciamos ambos miembros de ln y = ln[f(x)] con respecto a x y luego despejamosy'. La diferenciación logarítmica se utiliza también para diferenciar y = uv  donde u y v son funciones de x.

Como la derivada f'(x) de una función y = f(x) es a su vez una función, podemos diferenciarla de manera sucesiva para obtener la segunda derivada f"(x), la tercera derivadaf'"(x) y otras derivadas de orden superior.